«Видящий, да услышит –

Слышащий, да увидит…»

Явился ангел в круге мне сияния,

Перстом нарисовал квадрат земли,

Крылами вывел карту мироздания,

И треугольник вечною любви.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга – плод моих размышлений о соразмерности, соотношениях или, говоря в общем, о пропорциях. Эта важная тема, которая волнует всех, кто творит и хочет разобраться в законах красоты и мироздания. Надо сказать, что когда я учился, а это было в 70-х -80-х годах 1900 годов, оказалось, что информации на эту тему катастрофически не хватало. Мы по крупицам собирали эти знания и, нам казалось, что найдя какие-то факты и знания, мы открываем мир. Мы были окрыленными. Но как только начинали рисовать или лепить, оказывалось, что ты много не знаешь и не понимаешь, как буд-то идешь интуитивно в темноте не зная дороги. С годами приходило чувство осознания ремесла и чувства красоты, что-то ты открывал сам, а другое само находило тебя. Интуиция и опыт, чувство «прекрасного» помогало творить, но только тем, кто обладал талантом и стремлением работать в поисках совершенного. Откровения приходили во время сна или во время работы после некоторого времени бесплотных поисков. Однако вера не покидала меня, что однажды придет сновидение, и ты поймешь, КАК ВСЁ УСТРОЕНО. Конечно, это была иллюзия или утопия, кому как больше нравится. Однако накопленные знания и опыт, собственные открытия, а были и такие, привели меня к мысли, что необходимо все это собрать, обобщить, и подарить как откровения от Игоря Холигера молодому поколению, дабы облегчить им путь к постижению твердыни творчества и созидания.

Представленные в этом труде знания обобщают многие стороны, которые охватывают ПРОПОРЦИИ – а это архитектура и скульптура, живопись и графика, дизайн и декораторство, прикладное искусство и керамика, мебель и металлоконструкции, театр и балет, фотография и многое другое, где важен талант художника, созидателя и творца. Касается это и всего, что нас окружает, так мир живет и развивается по законам природы или Божественных сил, к пониманию которых мы очень далеки. Законы мироздания действуют вне, а часто и вопреки желанию человека, и понять их, почувствовать их природу, уловить вектор развития, поможет людям абсолютно во всех начинаниях, с которыми они будут сталкиваться на протяжении их жизни, да и всего развития человечества.

Некоторые молодые и наглые математики и физики говорят: дайте нам законы и мы все создадим, как говорил Исаак Ньютон: «дайте мне точку опоры, и я переверну мир». Однако с опытом, понимаешь, что в реальной жизни (а не в искусственном опыте), всегда действуют несколько сил и неизвестных, которые кардинально могут изменить результаты экспериментов. В природе все настолько сложно и взаимосвязано, что если что-то исчезло (например, сгорело) здесь, то в другом месте (измерении) прибыло. Ничто в нашем мире не исчезает бесследно. Человеческое слово – это колоссальная сила, которая может изменить мир. В Библии сказано, что в «начале была тьма. И отделил Бог небо от тверди….И сказал Бог: да будет свет. И стал свет… ». Бог творил и созидал шесть дней, а на седьмой день, решил отдохнуть (осмыслить, что было сделано). Конечно, все это иносказательно, и возможно, а это уже доказано физиками и астрономами, создавалось миллионами лет. Однако пространство было другое и время текло по-другому. И оценить нам сейчас это очень сложно.

Как в молекуле или атоме действуют определенные силы, так и в человеке, как в микрокосмосе, (ведь Бог создавал человека по образу и подобию своему), мы открываем законы мироздания, которые действуют во Вселенной. Природа, как часть мироздания, соразмерна, гармонична и пропорциональна, в ней все взаимосвязано, и ни что не может быть отдельно от другого.

Еще греки говорили, «…по-видимому, необходимо разделять ”Законы Гармонии Природы” и “Законы Красоты Искусства”. “Законы Гармонии Природы” объективны и отражают стремление природных структур к “оптимизации”, “целесообразности”, экономии вещества и энергии. Как показывают современные исследования, законы гармонии природы тесно связаны с Золотым Сечением и числами Фибоначчи, причем связь эта обнаруживается на квантово-механическом и генетическом уровнях. Что касается “Законов красоты”, то эти “законы” субъективны, так как выражают вкусовые и религиозные предпочтения определенных групп людей. И вряд ли в этом направлении можно построить какую-то стройную теорию».

Недаром, физики любят повторять вслед Альбертом Эйнштейном, что «если формула красива, то она верна».

В этой статье я постарался проследить, как формировался поиск золотых пропорций в истории, как создавались каноны и формулы вычислений, как они влияют на наше мировосприятие, как они взаимодействуют с окружающим нас миром.

После зрелых размышлений, я понял, что как бы мы не доверяли арифметике, каждому творцу следует прежде всего сверять свое творение с биением своего сердца, так как мы сами, не сознавая того, и есть суть проявления тех законов мироздания по которым творил Бог, и следуя природе, вникая в её законы мы постигаем сами себя.

ВВЕДЕНИЕ

Все о пропорциях.

На протяжении тысячелетий люди стремились обустроить мир вокруг себя, построить себе жилище, сделать себе одежду, стать более развитыми. Любопытство и интерес к окружающему миру, его устройству одолевали людьми и, со временем, меняли его к лучшему.

Изучая природу вокруг себя, животных и птиц, землю и небо люди стали лучше понимать красоту мира. Захватывающие пейзажи заката и рассвета, горные долины и реки, вызывали у людей чувство чего-то возвышенного и прекрасного. И человек, живя в сообществе себе подобных, пытался создавать вокруг себя то, что ему помогало в жизни, что эстетически его влекло и вдохновляло.

Сначала это были вещи необходимые, полезные в быту, или то, что было связано с его занятиями: такими, как охота, рыболовство, обряды, свадьбы и другие необходимые действия.

Однако, с течением продолжительного времени, лучшие из людей поняли, что в основе прекрасного, в основе построения мира лежат законы, которые необходимо найти. Тогда, используя эти законы, можно создавать города, строить красивые дома, делать красивую одежду,

комплекс специальных упражнений помогал создавать прекрасное тело.

Наблюдая за впечатляющими закатами и волнующими восходами, за пустынями, где барханы перетекающего как волны песка уходят ползучими дорожками к горизонту, там, где бескрайние степи уходят и упираются в чарующие по красоте и монументальности горы, где морская гладь, отражая близ лежащие утесы, уносится вдаль и сливается свои отражением с опрокинутым небом, там везде человек видел и чувствовал, что он соприкасается с чем-то великим и трудно объяснимым, с тем, что создано по божественным законам гармонии и порядка.

Наконец, изучая законы мироздания, миропостроения люди поняли, что в основе «прекрасного» лежат гармонично созданные отношения - пропорции. Вот мы и подошли к тому ключевому слову, которое и определяет красоту во всем, что нас окружает, а точнее одну из очень важных составляющих, разлитую во вселенной, данную нам свыше.

Человек, пытаясь творить и создавать что-то своими руками, понял, как трудно создать что-то эстетичное и красивое.

Изучая окружающий мир в человеческом сознании стали проявляться геометрические фигуры – символы, которые и стали определяющими. Изучая небо, человек видел солнце и планеты, идущие по кругу. Смена времен года определяла кругооборот в природе. Что это как не круг. Круг – это одна из первых фигур осознанных человеком. К этому пришел еще в V веке до нашей эры Пифагор, а до него, видимо, за две тысячи лет пришли к этому иудеи. Ведь еще Авраам говорил, что мир круглый, как мяч, а люди на другой стороне земли ходят по отношению к нам наоборот.

Передвигаясь по земле, странствуя по свету, человек видел величественные горы, упирающиеся пирамидальными вершинами в небо. В сознании родилось другое понятие, другая геометрическая форма - треугольник. Это первая фигура, образующая замкнутую плоскую геометрическую фигуру. Египтяне использовали треугольник со сторонами 3*4*5 для построения прямого угла, используя для этого веревку с узелками. Треугольник имеет три стороны, а также указывает на начало, середину и конец, чего бы то ни было. Любой объемная форма также определяется тремя параметрами – это длина, ширина, высота. Ну и конечно это триединство.

Строя свое жилище, человек пришел к мысли, что лучше всего состыковывать прямоугольные камни или кирпичи. Это прямоугольник, а прямоугольник с одинаковыми сторонами это квадрат, имеющий 4 вершины. Квадрат - это следующая геометрическая форма, лежащая в основе всего устойчивого и основательного. Это 4 стихии, четыре элемента мироздания – огонь, вода, земля и воздух.

Наблюдая излучины рек, полеты птиц, равнины переходящие в пологие холмы, человек видел кривые линии, состоящие из дуг. Дуга это последующая, очень важная составляющая геометрической формы.

Ну и конечно, не надо забывать, что есть и прямая линия, у которой есть начало и есть видимый (воображаемый) конец. Мы видим её, смотря на линию горизонта, когда идет дождь и струи дождя падают вниз, дорога, уходящая за горизонт. Пуская стрелу в цель, охотник стремился пустить её с наибольшей силой по прямой, чтобы попасть в цель.

Вот основные формы, которые и определили, основополагающие законы построения форм.

Рассмотрим основные плоскостные построения пропорций.

Итак, одно из основополагающих компонентов при определении пропорций и соразмерностей, служит построение при помощи геометрических фигур и их взаимосвязи.

Глава 1

Построения примитивов

Квадрат два квадрата - прямоугольник квадрат с диагональю

Рис 1 Рис 2 Рис 3

Более сложные пропорции происходят с более тонкими настройками пропорций, числовым рядом (функциями)соотношения сторон.

Например, стороны могут соотноситься 1:3; 1:4, 1:5 и т.д. или по функции сложения.

Например: 1:2; 2:3; 3:5; 5:8; 8:13 и т.д.

Прямоугольник 1:1,5 прямоугольник 1:1,5 квадрат + диагональ

Рис 4 Рис 5 Рис 6

При построении этих фигур и изучая получившиеся пропорции, можно увидеть образовавшиеся треугольники - как равносторонние, равнобедренные, так и с образованием одновременно острого и тупого углов.

Рис 7 Диагонали квадрата

Диагональ квадрата равна √2 (корню из 2 -1,4142). Диагональ из прямоугольника состоящего из двух квадратов – это √3 (корень из 3-1,732); следующая диагональ – это √4 (корень из 4- 2,0); следующая диагональ – это √5 (корень из 5 – 2,236) и т.д.

Глава 2

Числа и их числовые значения

Чтобы перейти числовым выражениям пропорций и их соотношений, необходимо понять, что обозначает каждое из чисел, какой оно несет информационный смысл. Изучая числа и их значения можно найти много интересного. Изучением чисел их смыслом и таинственными знаками люди занимались издревле.

Характеристика чисел и их выражение:

Число 1 (Единица) – это число мудрости «монада», или многообразие, сведенное к единству.

Единица – это первопричина, сотворение, вселенная, солнце. Единица - основа всего, основа жизни, это прямая связь земли и космоса, основа двух начал света и тьмы.

Число 2 (Два) – это две части целого, мужское начало и женское, инь и янь, черное и белое, свет и тьма. Дуализм этого число на низком уровне – это борьба двух противоположностей – добра и зла, на высоком уровне – это тесный союз, земли и солнца, мужчины и женщины, земли и воды. Это двойственное начало, в целом, олицетворяет сотворение Сущего, разделение на свет и тьму, на твердь и воду. Это основание любой прямоугольной формы или отрезка.

Число 3 (Три) – это синтез, результат рождения нового. В геометрии это треугольник, первая фигура, производящая множественную структуру бесконечности. Это число даёт начало середину и конец . Трис-мегист греческое слово, обозначающее трижды великий. В Православии оно неразрывно связано со Святой Троицей - триединством. Это первое число гармонии - Трио, которое стремится к покою.

Число 4 (Четыре)- это первое геометрическое тело, образующее геометрическое тело в плоскости и имеющее систему координат. Это четыре стороны света, четыре времени года, четыре периода жизни человека. Пифагорейцы называли его корнем всех вещей. Это основа, столп, характеризуется полным покоем, формой не стремящейся никуда. Квадра -полный покой , вот его основа и устойчивое движение.

Число 5 (Пять) – это число, обозначает победу духовного над материальным. Попытка выйти из пределов примитивного числа 4, это число Гуру, высшего учительства. Число пять – Квинта - обозначает анархию, подъем над порядком, вечное движение и стремление к высшему началу.

Число 5 также указывает на пять органов чувств, которыми обладает человек. Фигура человека с раскинутыми руками и расставленными ногами вписывается в пятиконечную звезду, звезду магов. Это является символом человеческого существа как микрокосмоса во вселенной.

Число 6 (Шесть) – это вложенные друг в друга треугольники, образующие гексаграмму – шестиконечную звезду. Один треугольник обращен вершиной вверх – это прямое воплощение триединства божественного начала, другой треугольник обращен вершиной вниз – его тень, мир явлений, загробный мир, мир душ. Шестиконечная звезда считается талисманом величайшего Иудейского царя Шломо (Саломона), а до этого была звездой Давида. Соответствует дому Девы. Это устойчивая геометрическая форма – Секста - с двумя началами, стремящаяся к повторению. Пчелиные соты, состоящие из шестиугольника – это лучшее тому подтверждение. Число шесть символизирует гармонию, некое равновесие, которое стремится к расширению и повторению, и составляет сумму первых трех простых чисел (1+2+3=6). Это четное число и по китайскому календарю это ИНЬ, обозначает женскую энергию, подчиненную мужскому началу ЯНЬ. Это число обозначает материальный мир, там, где правит женщина, привнося в дом тепло и уют. В библии говорится, что Бог создал человека на шестой день. Это число указывает на баланс духовного и материального, на вечное и преходящее (как говорили Пифагорейцы, а потом и Аристотель).

Число 7 (Семь) – это особое мистическое число, связанное с кругооборотом. Семь дней недели, из которых шесть дней Бог творил, а на седьмой день – отдыхал. Число 7 – это некая медитация, созерцание, того, что сделано, осмысление, уход от мирской суеты. Это число характеризует собой единство неба и земли. Это число управляет магическими силами: стены Иерихона рухнули, после того, как израильтяне обошли вокруг них 7 раз. В числовом формате, это число нельзя получить путем перемножения других чисел. Число семь также соотносится с семью основными цветами, и с 7 нотами в музыке – а это уже гармония вселенной. Оно связано и с Луной, и её циклами – 4 недели по семь дней.

Число 8 (Восемь) – это число единства земли и материи. Это удвоение числа 4, расширения материи, построения вселенной. Это связь земли и неба, петля Мёбиуса – олицетворяющая бесконечность. С одной стороны это новые планы, новые проекты, с другой стороны это сильные падения. С числом восемь связаны представления о жизни после смерти, о появлении нового духовного начала. Число 8 связано и трехмерной фигурой, такой как куб.

Число 9 (Девять) – это первое число ограничения всех начальных чисел, от 1 до 9. Это первый квадрат числа 3 (3 х 3 =9). Число высшего начала, стремящегося, однако, к низшему, к земле. При этом, число девять – это число перехода на новый уровень, число духовности и интеллекта.

Число 10 (Десять) – это совершенное число, первое созданное из соединения двух чисел 1 и 0.

Это число обозначает закон, и состоит из перемножения числа 2 и 5, является началом и объединением всех начал. Это число характеризует самодостаточность, и характеризуется тем фактом, что в окружности 360 градусов, а числа 3+6+0 в сумме образуют число 9. К тому же, если какое-то простое число умножить на 9 и произвести арифметический расчет, то всегда будет получаться число 9. (Например: 3х9=27, а 2+7=9 и т.д.).

Существую и сложные числа, такие как 11, 12 и т.д., но это уже отдельная история.

Глава 3

Построения звезд и многоугольников

Построение пиктограммы с пятью лучами.

Рис 8. Рис. 9.

Многоугольник с пятью сторонами – пятиконечная звезда, это первое из сложных тел, которое идет за квадратом. Вершины пятиугольника вписываются в круг и имеют между собой угол равный 72˚. Пример построения показан на рисунке.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Рис.10

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd₁ откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Она разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad₁ и dd₁ пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Рис.11

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

Но золотой треугольник весьма близок к священному египетскому треугольнику

5-4-3, на котором строилась древнейшая «вавилонская» (неправильная) пентаграмма. Кто из древних и когда превратил «вавилонскую» пентаграмму в золотую, мы пока не знаем.

Многоугольник с шестью лучами

Рис. 12

Шестиугольник или звезда с шестью лучами – это сложная форма, состоящая из двух треугольников, вписанных в круг. Вершины между собой имеют угол 60˚. При её построении, необходимо провести радиус из верхней и нижней вершин, и на окружности они образуют дополнительные точки построения шестиугольника. Треугольник, обращенный вершиной вверх – это духовная энергия, и обращен он к раю, треугольник обращенный вершиной вниз – это наше мирское тело, и обращен он к аду. Здесь проявляется единство и борьба противоположностей.

Звезда с шесть лучами являлась символом и была на щите царя Давида (а потом и Соломона).

Рис.13 Рис.14

Восьми угольник или восьми лучевая звезда – это устойчивая форма с двумя квадратами, вписанными в круг, повернутыми по отношению друг к другу на 45˚. Восьми угольник очень любим восточными культурами, особенно почитался в Китае и Японии. На восьмиугольнике построен фэн-шуй, к нему относятся стихии (их 8)и знаки животных, окружающих человека (их четыре): это черепаха, тигр, феникс и дракон. Стихии это: огонь – вода; металл –дерево; почва+ - почва -. Восемь сторон света: это юг - юго-запад - запад - северо-запад – север – северо-восток – восток – юго-восток. Магический квадрат имеет магическое соотношение цифр: сумма цифр в каждой строке , столбце или диагонали составляет число 15. В Китае он назывался восьмиугольником Ба-гуа и определялся по сторонам света цветам и животным.

Рис. 15 Рис. 16

Квадрига креста Рис. 15 или танцующий в четырех стихиях крест, образуется при построении квадрата и круга. Это знак движения стихий.

Звезда протуберанец – это звезда с 8 вершинами, вписанными в круг.

Угол между вершинами будет - 45˚.

Может рисоваться и с 9 вершинами, тогда угол между вершинами будет создаваться 40˚.

Этот знак был распространен в Тибете и древней Индии.

Построение узоров и вселенной.

При построении узоров используются различные геометрические формы.

Например, при использовании круга образуются зоны пересечения формы, которые и создают рисунок.

Рис. 17 Рис. 18

На рисунке показано построение цветка 4/8 и построение цветка с 8-ю лучами, уходящими в бесконечность.

Кристаллическая решетка атомов химических элементов, также показывает нам циклическую структуру строения вещества.

Рис. 23 На этом рисунке показано построение вселенной на основе цветка с 8-ю лучами. В основе построения лежит круг. Вокруг центра движутся звезды или это похоже на атом, где вокруг ядра движутся электроны и протоны.

Рис. 19

Здесь показано построение вселенной на основе цветка с параллельной и поперечной структурой 8 диагональ. В основе построения лежит кристаллическая решетка атома. Удивительно, но этот рисунок можно продлевать бесконечно во все стороны. Вселенная может расти расширяясь, разрастаясь, при этом внутренние связи остаются неизменными.

Рис. 20

Рис 21.

Здесь показано построение вселенной на основе цветка с параллельной и поперечной структурой.

В основе построения лежит круг.

Семиугольник – это одна из величайших форм природы.

Принципы мировой гармонии определены простыми геометрическими фигурами, одной из которых является семиугольник и семиугольная геометрическая сеть линий, которая получается в результате соединения вершин семиугольника линиями.
«Данную семиугольную сеть линий можно называть: гептагональная сеть (септагональная), и можно утверждать, что гептагональная сеть является наиболее значительной фигурой, которая определяет гармонические пропорции окружающего мира». С.Л.Панфилов

Астрологический семиугольник камней

Рис. 22

В том числе гептагональная сеть является фигурой, которая определяет основополагающие пропорции человеческого тела, что показано на рисунке: рис.23

Рис.23

Тёмные контуры на рисунке показывают идеальную человеческую фигуру, которая вписана в линиях гептагональной сети.

Согласно древнегреческому скульптурному канону рост человеческого тела делится на 8 частей и величина головы составляет 1/8 часть от роста тела, что показано на рисунке синими линиями. Хотя в действительности согласно среднестатистическим антропометрическим размерам величина головы составляет 1/8 часть, если рост человека 180 сантиметров, но если рост человека 175 сантиметров, то величина головы составляет 1/7,5 часть, или если рост человека 170 сантиметров, то величина головы составляет приблизительно 1/7 часть. Но всё же считается, что идеальная величина головы соответствует греческому скульптурному канону.

В числе многих объектов мира наиболее значительным памятником человеческих знаний являются Египетские Пирамиды, и в частности пирамида Хеопса.
Согласно разным источникам основными размерами пирамиды Хеопса являются: длина стороны основания 500 локтей, высота 318 локтей, угол наклона боковых граней 51 градус 50 минут.

Согласно перечисленным размерам главные пропорции пирамиды Хеопса заключаются в соотношениях линий треугольника, который образован высотой ОР, половиной длины основания PR и апофемой (длиной боковой грани) OR, что показано на рисунке:

Из исторической справки: « среди прочих знамений пирамиды Хеопса, и содержащееся в ее пропорциях золотое сечение. На упоминаемой странице http://bullbear.msm/ru/rus/fr_main513.htm находим: «Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды - 484.4 фута (147.6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи.»

Многие исследователи Пирамиды Хеопса предполагают, что строителям Египетских Пирамид были известны число золотого сечения и число «пи», а также предполагают, что эти золотые числа были ключевыми в проекте пирамид, но в действительности знание этих чисел не является необходимым, поскольку для строительства пирамид достаточно знать пропорции семиугольника и использовать соотношения линий, которые существуют в геометрической фигуре семиугольника, что показано на следующем рисунке:

Строители пирамиды Хеопса увеличили правильный угол семиугольника, будто бы на вершине пирамиды находится человек, и в результате в соотношениях линий ЕК/КХ было зашифровано число золотого сечения, а в пропорциях пирамиды были заложены пропорции человеческого тела, что было проектом будущей пирамиды.
По существу строители пирамиды Хеопса вписали семиугольную сеть линий в живую окружность, в которой величина вертикального диаметра отличалась от величины горизонтального диаметра относительной величиной человеческого роста.

Основной мерой измерения в древнем Египте был локоть, который состоял из семи ладоней, а каждая ладонь подразделялась на четыре пальца. Итого локоть состоял из 28 пальцев, что соответствовало 28 дням лунного месяца.
Обратите внимание, что бигептагональная сеть линий имеет 14 вершин, а квадрагептагональная сеть линий имеет 28 вершин, что также равно числу дней лунного месяца.

В современной египтологии известны разные параметры египетского локтя:
- простой египетский локоть = 6 ладоней = 24 пальца = 450 миллиметров;
- королевский египетский локоть = 7 ладоней = 28 пальцев = 525 миллиметров.
Но всё же величина 466 миллиметров является наиболее достоверной, поскольку это антропометрическая величина человеческого локтя.

Глава 4

Принципы ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Поиск наилучших взаимоотношений и сочетаний привел к нахождению идеальных пропорция. В древности его называли Божественными пропорциями.

Еще в Древнем Египте за единицу измерения тела принимали длину стопы, в более поздние времена - длину среднего пальца руки. Были найдены и абсолютные сочетания при построении архитектуры 3:4:5.

Основа золотого сечения, заложенная ещё с Евклида, означает пропорциональное соотношение частей: большая часть относится к средней, как средняя к меньшей, или если записать это формулой: a:b=b:c или c:b=b:a

Рис. 26

Золотое сечении - соотношение пропорций, при котором целое так относится к своей большей части, как большая к меньшей. (Если обозначить целое как С, большую часть А, меньшую В, то правило золотого сечения выступает как соотношение С:А=А:В.) Автор золотого правила - Пифагор - считал совершенным такое тело, в котором расстояние от темени до пояса относилось к обшей длине тела как 1:3. Отклонения величины веса и объема тела от идеальных норм зависят прежде всего от строения скелета. Важно, чтобы тело было пропорционально.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Канон - система идеальных пропорций человеческого тела - была разработана древнегреческим скульптором Поликлетом в V веке до нашей эры. Ваятель попытался научно, точно определить пропорции человеческого тела, согласно с его представлениями об идеале. В соответствии с эстетическим каноном греческого скульптора Поликлета единицей измерения тела служила голова; длина тела должна быть равной восьми размерам головы.

(Polэkleitos) из Аргоса, древнегреческий скульптор и теоретик искусства второй половины V в. до н. э. Один из ведущих представителей высокой классики. Работал в Аргосе. Творчеству Поликлета свойственно тяготение к художественной нормативности, которое выразилось в его сочинении "Канон" (сохранилось 2 фрагмента). Под влиянием учения Пифагора Поликлет стремился математически обосновать и воплотить идеальные пропорциональные отношения человеческой фигуры, создать возвышенный гармонический образ человека - гражданина полиса. Статуи Поликлета ("Дорифор". или "Копьеносец", около 440 до н. э.: "Раненая амазонка", около 440-430 до н. э.; "Диадумен", около 420-10 до н. э.). выполненные преимущественно в бронзе, утрачены и известны по римским копиям и свидетельствам античных авторов. Несколько тяжеловатые по пропорциям, исполненные внешнего покоя и скрытой внутренней динамики, они построены на принципе взаимоуравновешивающего перекрёстного движения различных частей тела (так называемых хиазм): поднятому плечу соответствует опущенное бедро (и наоборот). Совершенство, обобщённость и классическая ясность пластики сочетаются в них со свободной непринуждённостью композиции.

«Успех художественного произведения, — утверждал Поликлет, — получается от многих числовых отношений, причем любая мелочь может его нарушить». Свой идеал атлета-гражданина Поликлет воплотил в бронзовой скульптуре юноши с копьем, отлитой около 450—440 годов до н. э. Могучий обнаженный атлет — Дорифор («Копьеносец») — изображен в спокойной и величественной позе. Он держит в руке копье, которое лежит на левом плече, и слетка повернув голову, смотрит в даль. Кажется, что юноша только что нагнул вперед и остановился. Красота человека становится для нею мерой ценности разумно устроенною мира.

Вот результаты его вычислений: голова - 1/7 всего роста, лицо и кисть руки - 1/10, ступня -1/6. Однако уже современникам фигуры Поликлета показались слишком массивными, "квадратными". Тем не менее, каноны стали нормой для античности и с некоторыми изменениями для художников ренессанса и классицизма. Практически канон Поликлета был воплощен им в статуе Дорифор ("Копьеносец"). Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы восемь раз укладывается по высоте тела, а центр "золотой пропорции" приходится на уровень пупка.

Рис.27Фигура Дорифора (Поликлет) Рис.28Фигура юноши из Аргоса Рис.29 Раненая Амазанка

В создании своих творений греческие мастера (Фидий, Мирон, Пракситель и др.) использовали этот принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно в месте пупка (это не так пр. автора).

Рис.30

Мирон. Дискобол.

Мирон большую часть своей жизни работал в Афинах, расцвет его творчества падает на вторую четверть V века

до н. э.

Среди его произведений наибольшей известностью пользовалась статуя «Дискобол», исполненная между 460 и 450 годами до н. э. Она прославляет победителя атлетических состязаний. Сжав диск в правой руке, обнаженный юноша наклонился вперед. Рука с диском отведена назад до предела. Кажется, через мгновение атлет распрямится и брошенный с огромной силой диск полетит на далекое расстояние. Все тело юноши пронизано захватившим его движением.

Впились в землю пальцы правой ноги, которая служит опорой телу, резко обозначились напряженные мускулы, и, словно тугой лук, согнуты руки. Новаторство Мирона заключалось в том, что он одним из первых мастеров греческого искусства сумел передать в скульптуре ощущение движения. В позе «Дискобола» как бы слиты несколько последовательных движений: размах, мгновенная остановка перед броском и намек на сам бросок. Эта поза не является точным повторением какого-то одного момента в движении атлета. Правдивое впечатление движения в искусстве Мирона складывается благодаря единству простых и легко воспринимаемых жестов, которые передают различные моменты реально движущейся фигуры.

Фигура «Дискобола» передает огромное внутреннее напряжение, которое сдержано внешними формами скульптуры, упругими замкнутыми линиями, очерчивающими ее силуэт. В образе атлета Мирон раскрывает способность человека к активному действию.

Впоследствии это изображение было дополнено Агриппой и Фладдом, которые запечатлели его в космическом контексте - в зодиакальном круге с нанесенными на нем соответствующими астрологическими знаками. Таким образом, вечные «гармонические пропорции» всей Вселенной проявлялись как внутренне присущие чуду человеческого тела, в микрокосме которого воплощалось божественное совершенство макрокосма.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Рис.31

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Древнеримский архитектор Витрувий - его работы были возвращены к жизни основателями Возрождения - настаивал на том, чтобы храмы строились в соответствии с пропорциями человеческого тела. К таким пропорциям относится не только золотое сечение, но и экстраполяция кругов и квадратов, описанных вокруг фигуры стоящего человека с расставленными в стороны руками и ногами.

Знаменитый рисунок этой фигуры, созданный примерно в 1490г. - его часто называют «Человек как микрокосм» - можно найти в тетрадях Леонардо.

Альбрехт Дюрер ( Albrecht Durer ). Теоретик искусства. Автор трудов: «Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки» (Нюрнберг, 1525); «Четыре книги о пропорциях человека» (Нюрнберг, 1528).

Классик немецкого Возрождения, Альбрехт Дюрер (1471-1528) работая над гравюрой "Немезида или Большая Фортуна" (Ок. 1501) применил принципы пропорционирования Витрувия. Согласно исследованию Эрвина Панофского (1892-1968), признанного корифея европейского искусствоведения, в изображённой фигуре даже размер большого пальца согласуется с Витрувием. Но результат оказался очень далёк от классического идеала и не производил желаемого впечатления, в том числе и на самого Дюрера. В дальнейшем своём творчестве

Альбрехт Дюрер от услуг Витрувия отказался, но им самим был написан трактат альтернативный труду Витрувия, полное название которого звучит так: "Здесь заключены четыре книги о пропорциях человеческого тела, найденных и описанных Альбрехтом Дюрером из Нюрнберга на пользу всем любящим таковую науку". В начале трактата Дюрер, критически осмысливший наследие Витрувия, заявляет: "…только совсем слабый разум не верит, что он может найти нечто новое, но держится всегда старого пути, следуя за другими и никогда не осмеливаясь самостоятельно думать".

Рис.32 Рис.33

Дерзость у Дюрера сочетается со скромностью, о которой он напоминает людям говоря: "Нет также на земле человека, который мог бы окончательно сказать, какою должна быть прекраснейшая человеческая фигура. Никто не знает этого, кроме одного Бога".

Лука Пачоли, предложил формулы золотых пропорций:

А, умножив числитель и знаменатель на (√5 + 1) : (√5 – 1), получим классическую запись золотого сечения:

√5 + 1

––––– = 1,618...

2

Видимо Пачоли, не мог не понимать, к чему сводятся предложенные им равенства..

Пачоли писал: «...подобно тому, как Бог не может быть ни определен, ни словом разъяснен, наша пропорция не может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной».

Рис.34 Золотая логарифмическая спираль

Что общего у расположения полипептидных цепей нуклеиновых кислот, лепестков розы, раковин моллюсков, рогов млекопитающих, и далеких космических галактик?

Ответ известен: структура, основанная на логарифмической спирали. Т. Кук открыл роль золотой логарифмической спирали в строении растительных и животных объектах, доказав что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения.

Что такое золотая логарифмическая спираль? В ее основе золотой прямоугольник: Последовательно отрезая от него квадраты и вписывая в каждый по четверти окружности, мы и получаем золотую логарифмическую спираль.

Рис. 35 Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

(Андрей Чернов. Заметки о вечном. SECTIO AUREA. ИМЯ, ДАННОЕ ПО ОШИБКЕ)

ГЛАВА 5

Ряды Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится».

Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Основная идея состоит в том, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. К примеру: 3 является суммой 1+2; 5 является суммой 3+2 и т.д.

Однако, надо отдать должное, этот числовой ряд был известен еще в трудах древних Индийских ученых.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Фибоначчи также известен тем, что стал использовать в бухгалтерии арабские числа и сего легкой руки они закрепились в Европе.

Рис.36 Кролики ряда Фибоначчи Рис.37 Дерево ряда Фибоначчи

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Первые работы, специально посвященные золотому сечению, вышли в конце XVIII столетия. А в середине XIX века немецкий профессор издал Адольф Цейзинг капитальное «Новое учение о пропорциях тела человека, из остающихся до сих пор непознанных морфологических основ, пронизывающих всю природу и искусство». В 1855 г. труд Цейзинга был переиздан под названием «Эстетические исследования».

Цейзинг считал, что все в мире можно объяснить золотой пропорцией и рассматривал ее в качестве основного морфологического закона природы и искусства. Он сам сделал тысячи обмеров и показал, что этот закон работает и в пропорциях тела человека и в телах «красивых животных».

Более подробно мы рассмотрим это далее на различных примерах.

Глава 6

Пифагорейцы и числовые построения

Обратимся теперь к пифагорейской философии и посмотрим, как же древние греки относились числам.

Пифагор родился в VI веке до н. э. и расцвет его учения и его школы пришелся на V век до н.э.

Пифагор родился на острове Самос в г. Кротоне южной Италии и был ионийцем. Это были места пересечения торговых путей из Египта и северной Африки и древнего аравийского царства со столицей в Вавилоне. Древнейшие учения этих культур не могли не сказаться на мировоззрении Пифагора. Видимо он был знаком и с культурой древних иудеев, с учением Авраама, где Авраам вывел десять заповедей соответствия в иврите буквам алфавита (а их 22) с числовыми соответствиями и значениями. Этой темы мы коснемся несколько позже.

Пифагорейцы пришли к выводу, что все вещи подлежат исчислению и основные из них могут быть выражены математически. Отношения между двумя связанными вещами может быть выражено с помощью численной пропорции. При наблюдении за лирой (а музыка была в большом почете у Греков, и считалась принадлежностью Богов) пифагорейцы сделали открытие, что музыкальные интервалы между струнами лиры могут быть выражены в числовой пропорции. Они обнаружили, что высота звука зависит от числа, т.е. от длины струны, а интервалы между нотами можно выразить соотношение чисел. Подобно тому, как музыкальная гармония зависит от числа, так и гармония во Вселенной, тоже зависит от числа. Аристотель писал про пифагорейцев: «Поскольку они видели, что атрибуты и соотношения музыкального ряда выражаются через числа, то они пришли к выводу, что все вещи в природе можно смоделировать с помощью чисел, и числа, по их мнению, были первыми вещами во всей природе, а сама Вселенная представляет собой музыкальный ряд и число». Однако их это не остановило и пифагорейцы заявили, что все вещи сами по себе являются числами.

Это высказывание сразу может быть не совсем понятно, и ввести некоторых в заблуждение. Но давайте посмотрим, что же они имели в виду. Аристотель пишет нам, что пифагорейцы «элементами числа считали чет и нечет, из которых первые являются беспредельными, а вторые –предельными; единое состоит у них из того и другого, оно является четным и нечетным, число образуется из единого, а различные числа, как было сказано, -это вся Вселенная». Дело в том, что Пифагорейцы рассматривали числа с пространственной точки зрения. К примеру: 1 – это точка, 2 – линия, 3 – поверхность, 4 – тело. Итак, утверждение, что все вещи это числа, означает, что все тела состоят из точек или единиц пространства, которые вместе взятые, составляют число. Пифагорейцы считали 1; 2; 3; 4 -основными целыми цифрами, из суммы которых состоят и все остальные числа. Фигуру, состоящую из четырех точек («тетрактос»-четверка) считали священной.

Рис.38

Рассмотрев эту фигуру, можно увидеть, что десять – это сумма одного, двух, трех и четырех (1+2+3+4=10); иными словами, первых четырех целых чисел.

Аристотель рассказывает, что Эврит вместо чисел использовал камешки и благодаря такому способу получал «квадратные» и «прямоугольные» числа. Если начать с единицы и добавлять нечетные числа, располагая из в форме «гномона», то получим «квадратные числа», а если мы начнем с двойки, и будем добавлять четные числа, то получим «прямоугольные числа».

Рис. 39 Рис. 40

Такое использование чисел в виде фигур позволяет понять, почему пифагорейцы рассматривали объекты как сами числа, а не просто как исчислимые предметы. Так наложение точек отрезков и плоскостей, образующихся из них, является реальными элементами , из которых состоят все тела в природе. Это как атомы или кирпичики, из которых построено мироздание и вся Вселенная. Есть четыре стихии – это огонь, вода, земля и воздух, четыре состояния природы - это весна, лето, осень и зима, четыре состояния человека – детство, молодость, зрелость и старость.

Рис. 41 Пифагоровы штаны Рис. 42. Диагональ квадрата

Здесь видно, что все треугольники (а это равнобедренные треугольники) равны и образуют квадрат. «Пифагоровы штаны на все стороны равны» - это известная школьная считалочка.

Рассматривая «чет-нечет, … предельность и беспредельность» в числах пифагорейцы решили, что ограниченный космос или мир был окружен беспредельным или безбрежным космосом (воздухом), которым он «дышит». Пифагорейцы, рассматривая числа с геометрической точки зрения, считали, что они (будучи четными и нечетными) тоже являются продуктами предельного и беспредельного. Форма квадрата (предельная фигура) состоит из нечетных чисел, а форма прямоугольника (беспредельная фигура) состоит из четных чисел. Эти числовые функции в своем составе имею числа, как кратные 3, 5, так и кранные 2, причем суммы и корни этих чисел встречаются как в «предельных» так и в «беспредельных» числах. Здесь мы приходим к идее Гераклита о «борьбе и единстве противоположностей».

Он говорит о естественном течении этих двух начал. Это борьба двух противоположных векторов, без которых каждое, в отдельности становится пагубным и бессмысленным. Это натянутый лук и тетива, натянутые струны у лиры, мир – стремящийся через войну обрести покой, две стихии огонь и вода, земля и воздух, каждое из которых, теряя свою противоположную сущность теряет смысл понимания.

Рис.43 Священный египетский треугольник и Пифагоровы штаны

Иррациональность (несоизмеримость) отношения √2 : 1 доказывалась тем, что квадрат, построенный на диагонали меньшего квадрата, в два раза больше исходного квадрата.

Из теоремы Пифагора следовало, что если сторону квадрата принять за единицу, то длина диагонали будет равна √2. Но ни одна состоящая из двух целых чисел простая дробь a/b при возведении «в квадрат» двойку не дает. Значит, существует некий бесконечный класс тайных иррациональных чисел, невыразимых ни целыми числами, ни их отношениями. И если сторону квадрата принять за единицу, то сторона квадрата просто несоизмерима с его диагональю, которая будет равна невыразимому при помощи целых чисел (или их отношения) иррациональному числу √2. Это открытие и потрясло философа.

Ведь арифметика Древней Греции – арифметика целых чисел. Аристотель в «Метафизике» поучал: «Число есть множество, которое может быть измерено единицей». Ему вторил Евклид во втором определении VII книги «Начал»: «Число же – множество, составленное из единиц».

То, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, как казалось самому Пифагору, было вызовом тому миропорядку, который античный философ и считал разумно расчисленным Космосом. Пифагор засекретил свое открытие, поведав о проблеме иррациональности лишь ближайшим ученикам, среди которых первым был Гиппас из Метапонта.

В переводе с греческого, пентаграмма значит «пять линий». Родом она из Вавилона, и возраст первых пентаграмм, найденных на глиняных табличках, около трех тысяч лет. В живой природе широко распространены формы, основанные на пентагональной симметрии. Это, к примеру, многие морские звезды и морские ежи. У человека на каждой руке и ноге по пять пальцев, пять лепестков у цветов кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони и земляники.

Число 5 у пифагорейцев обозначало брак и богиню рождения Афродиту, ведь пятерка – результат сложения двойки первого женского (четного) числа и тройки первого мужского (нечетного) числа.

Пифагорейцы, конечно, должны были заметить, что в правильной пентаграмме (то есть звезде) любой отрезок находится в золотом отношении с меньшим соседним.

Надо думать, Гиппас из Метапонта был казнен греческими богами еще и потому, что мог выдать грекам (или даже выдал) и другую алогичную и страшную тайну – тайну пентаграммы (в основе которой лежит √5).

Евклидова геометрия

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. Однако термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) введён лишь в 1835 году немецким математиком и Мартином Омом (1792–1872). (Он был младшим братом знаменитого физика Георгия Ома.) Термин появился во втором издании учебника Мартина Ома. В 1854 году в капитальном исследовании о пропорциях человеческого тела тем же термином воспользовался физиолог Адольф Цейзинг. Символ φ (греческая буква “phi”) для обозначения золотого числа 1,618… впервые использовал в начале XX века американский математик Марк Барр. Сделано это было в память и честь античного скульптора Фидия, под чьим руководством возводился Парфенон.

Начала (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. Начала — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований.

Прокл пишет (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: Начала были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом.

Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.

Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых — Пьера Рамуса, Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавиуса) и Савилия.

Начала оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. Так, на китайском языке первые 6 книг Начал издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610). По количеству переизданий Начала не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал Начала: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением».

Глава 8

Построения сложных геометрических тел и их пропорции

При построении сложных геометрических и архитектурных тел необходимо находить пропорции и числовые порядки, объединенные в закономерности.

Покажем наглядно некоторые примеры различных пропорций и их закономерностей.

Рис. 44 Рис. 45 Рис. 46

Этот пример на основе треугольников и прямоугольника наглядно показывает, насколько изменяются пропорции при изменении числовых взаимоотношений. Если на рисунке 15 форма выглядит приземлено, она прочно стоит на своем основании, т.к. основанием служит равнобедренный треугольник, то на рисунке 17 форма устремляется вверх, выглядит более динамичной, как ракета устремленное в небо.

Рис. 47 Рис. 48 Рис. 49

На этих рисунках показаны примеры построения храма при использовании определенных построений и пропорций.

Как можно увидеть форма, её эстетические и параметры восприятия сильно меняются при изменении пропорций. Эти приемы использовали архитекторы и строители на протяжении тысячелетий. При правильном использовании этих закономерностей можно усиливать те или иные свойства архитектуры: её динамику, устремленность или приземленность, плавность и гармоничность или готическую остроконечность. Эти свойства архитектуры мы более подробно рассмотрим позже. Архитекторы на протяжении многих веков применяли различные пропорции при строительстве архитектуры, которые выражали духовные устремления той эпохи.

Рассмотрим эти пропорции на основе Парфенона.

Рис.50

Золотое сечение было известно древним грекам. Вряд ли можно сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить хотя бы Парфенон.

Рис. 51

Главным зодчим храма Перикл назначил крупнейшего архитектора Греции Иктина, а его помощником — Калликрата. Строительство здания продолжалось девять лет, с 447 по 438 год до н. э. По своему плану Парфенон — дорический периптер размером 70x31 м, окруженный сорока шестью колоннами. Однако Иктин обогатил архитектуру храма многими элементами ионического ордера: вместо обычного шестиколонного портика на фасадах здания поставлены великолепные восьмиколонные портики; сами колонны высотой в 10.5 м стали более стройными, чем в предшествующих дорических храмах; наконец, для украшения Парфенона использован ионический фриз, сплошной лентой проходящий за колоннами по стене здания. При сооружении храмов на Акрополе архитекторы стремились к гармоническому сочетанию обоих ордеров, когда мужественная и строгая дорика согласовывалась с утонченной и грациозной ионикой. Главная точка зрения на Парфенон, на которую рассчитывали его создатели, — с угла, с северо-запада.

Впечатление безупречной красоты Парфенона возникает благодаря ясному чувству меры и гармонии, которые проявляются во всем облике храма. Все линии представляются глазу идеально правильными. На самом деле Парфенон построен с учетом особенностей человеческого зрения. Прямая линия стилобата, на котором возвышается здание, так же как и линия архитрава, в действительности изогнута в силу того, что идеальная прямая линия издали нам показалась бы слегка вогнутой. Чтобы избегнуть этого, строители сделали стилобат и ведущие к нему ступени в центре на 10 см выше, чем по краям. Угловые колонны Парфенона более массивны и ближе подвинуты к соседним, иначе при ярком свете они казались бы более тонкими. Измерения показали, что колонны слегка наклонены к центру здания, но кажутся строго вертикальными.

Расстояния между ними различны, хотя воспринимаются как одинаковые. Все это придает архитектурному облику Парфенона удивительную жизненность и неповторимую красоту. Внутри здание было разделено стеной на две неравные части. В главном помещении целле — стояла знаменитая статуя Афины-Парфенос (Афины-Девы), созданная Фидием в 447—438 годах до н. э. из золота и слоновой кости и мрамора, из которого был построен храм. В V веке н. э. статую Афины увез в Константинополь один иэ византийских императоров, и там спустя 10 лет она погибла при пожаре. Западную половину храма занимал зал с четырьмя ионическими колоннами — комната для девушек, где юные афинянки ткали священную одежду, которую жители юрода приносили в дар своей бонше.

Там же хранились казна Афинского морского союза и государственный архив. Это помещение называли «Парфенон» от греческого слова «нарфенос» «дева». С IV века до н. э. название «Парфенон» стало относиться ко всему храму. О жизни и подвигах богини Афины, покровительницы города, связаны скульптурные украшения Парфенона, созданные Фидием совместно с его талантливыми учениками. В работе принял участие и целый ряд мастеров, чьи имена остались неизвестными. В процессе строительства храма, в 447—443 годах до н. э., были исполнены 92 метопы, а в 442—438 годах до н. э. — лента ионического фриза, проходящая за колоннами вокруг всего здания. В 432 году до н. э. мастера завершили работу над композициями фронтонов. Скульптурный ансамбль Парфенона — одно из величайших творений мирового искусства. Он отличался редкой художественной цельностью и логической завершенностью. Это воплощенная в мраморе ясная и величавая поэма, героиней которой стала Афина.

Совершенно иной Эрехейон.

В 421-405 годах до н. э. неподалеку от Парфенона в северной части холка воздвигли небольшой храм ионического ордера, посвященный Афине, Посейдону и мифическому царю Эрехгею. От его имени получило название Эрехион. В нем хранились древнейшие святыни. Эрехион стоят на месте, где в древности, согласно мифам, происходил спор Афины с Посейдоном. В полу храма было отверстие, через которое показывали след на скале, оставленный трезубцем Посейдона, а перед храмом росла священная маслина.

По-видимому, проект Эрехтейона был задуман еще при жизни Перикла и Фидия. Сооружая здание, строители должны были считаться со священными местами Акрополя. Особенность храма совершенно необычная планировка и асимметричное расположение помещений. Умело использовав неровности почвы, строители искусно подчинили композицию храма окружающему рельефу: восточная половина здания на 3 м выше западной. Три различных портика примыкают к храму. Стройные ионические колонны поддерживают два из них, в третьем крышу несут скульптурные изображения девушек, так называемые карпаиды.

Рис.52

Пропорции здания таковы, что у зрителя не возникает впечатления, будто ноша тяжела для девушек. Статуи органично согласованы с архитектурой: они выполняют конструктивную роль, заменяя колонны, и вместе с тем замечательно смотрятся на фоне мраморной стены храма. Девушки представлены в свободных позах, их одежды ниспадают богатыми складками. Кажется, что они медленно шествуют вперед, словно направляясь в сторону Парфенона. По контрасту с гордым величием Парфенона Эрехион радует глаз своей живописностью и декоративным изяществом.

Очень многие архитекторы обращались и обращаются к золотым пропорциям.

Рис.53.

Например, архитектор Монферан при строительстве Исаакиевского собора сохранил все те же совершенные пропорции.

Глава 9

Числовые ряды, порядки, пропорции

Обращая наш взгляд к числовым порядкам и отношениям, можно увидеть четкие закономерности, не всегда видимые с первого взгляда. Этих числовых порядков достаточно много и мы приведем лишь некоторые из них.

· Порядок удвоения первого числа с суммой предыдущего. 1+1=2; 2+1=3; 3+2=5; 5+3=8; 8+5=13; 13+8=21 и т.д. Итак, получаем числовой ряд: _1_3_5_8_13_21_34_и т.д. Здесь можно отметить, что некоторые из них кратны 2, некоторые кратны 3, и многие числа сложные, т.е. не кратны ни одному из чисел (например 5 и 13).

· Порядок удвоения суммы чисел: 1+1=2; 2+2=4; 4+4=8; 8+8=16; 16+16=32 и т.д.

Итак, получаем: _2_4_8_16_32_64_128_и т.д. Все цифры в этом порядке кратны 2.

· Порядок увеличения суммы на три, т.е. кратно 3: 3; 3+3=6; 6+3=9; 9+3=12; 12+3=15; 15+3=18; 18+3=21 и т.д. Получаем: _3_6_9_12_15_18_21_

· Порядок умножения последовательности чисел от 1 до 9 на 2: 1х2=2; 2х2=4; 3х2=6; 4х2=8; 5х2=10; 6х2=12; 7х2=14; 8х2=16; 9х2=19. Получаем: _2_4_6_8_10_12_14_16_18_ Здесь видна интересная закономерность – произведение последовательных чисел, умноженное на два. Кратно 2 и отличается от предыдущего на 2.

· Порядок суммы последовательных пар чисел: 1+2=3; 3+4=7; 7+8=15; 15+16=31 или 1+2=3; 3+4=7; 5+6=11; 7+8=15; 9+10=19. Получаем: _1_3_7_11_15_19_

· Последовательность, где сумма чисел равна одному из слагаемых и последующему за ним числу: 1+2=3; 2+3=5; 3+4=7; 4+5=9; 5+6=11; 6+7=13; 7+8=15; 8+9=17; 9+10=19 и т.д. Получаем: _3_5_7_9_11_13_15_17_19_. Здесь видна закономерность, что каждое последующее число больше предыдущего на 2.

· Также существуют такие порядки: _3_7_15_31_63_127_ … или _5_11_17_26_29_35

· И, конечно же: _2_6_14_30_62_126_и т.д.

· Приведу также ряд числовых прогрессий:

Золотое число и обратное ему отличаются на единицу. Так что основных золотых чисел, строго говоря, – два: Ф и 1/Ф: умножая на Ф, или деля на 1/Ф, получишь один и тот же результат.

Но математика наука точная, поэтому при точных вычислениях получается:

Такое число: 1,6180339887498948482045868...

У золотой пропорции две формулы и два числа – мажорное (Ф) и обратное первому – минорное (Ф1):

И если Ф – решение квадратного уравнение x² – x – 1 = 0,

то Ф₁ – решение уравнения x² + x – 1 = 0.

Умножая на число мажорного золота (Ф), или деля на минорное золото (1 : Ф), мы получим одинаковый результат. Следовательно, Ф₁ – число, обратное Ф. и При этом не существует других чисел, которые были бы больше своего обратного ровно на единицу. И как мажорное золото на единицу больше минорного, квадрат мажорного золота на единицу больше его самого:

Ф² = (√5 + 3) : 2 = 2,618...

Прогрессия вида 1, Ф, Ф²... Фⁿ – не только геометрическая, это еще и арифметический ряд, в котором каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

Ф² = 1 + Ф

Ф³ = Ф² + Ф

Ф⁴ = Ф³ + Ф²

Ф⁵ = Ф⁴ + Ф³

Итак, проследив в целом за порядками чисел можно увидеть 3 тенденции: первая функция состоит из чисел кратных 2 (четные числа), другая функция, где числа нечетные - такие как, 1,3,5,7 и третья состоит из смешанных чисел, как четных, так и нечетных, например: _3_6_9_12_15_18_.

Надо сказать, что древние культуры очень успешно использовали числовые пропорции в своей практической деятельности. К примеру, египтянам, приходилось каждый год (после разлива Нила) заново нарезать плодородные земли под наделы. Они применяли закон Евклида о построении треугольника с прямым углом. Треугольник со сторонами 3_4_5 имеет один прямой угол, и два острых. Этот же способ с узелками на веревке они применяли и при построении своей архитектуры.

В культуре майя и ацтеков длину мерили локтями или шагами. В древнем Риме народ измерял длину акрами, на Руси – аршинами и локтями, мореходы измеряли расстояния в милях.

Сейчас за эталон меры длины принят 1(один) метр.

Глава 10

Принципы формообразования в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Рис. 54 Рост ветки

Рис.55 Яйцо

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

В природе:

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены даже явления природы, в которых эта последовательность, похоже, играет немаловажную роль. Одно из них — филлотаксис (листорасположение) — правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против. И каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

Историческое развитие развивается по спирали. Хронология и периодизация, можно сказать, исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней, имеющих планетарный характер. Повторим их 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584.События, хронология которых оказывается за пределами ряда, имеют региональный характер.

Если практически все в нашем мире базируется на коэффициентах Фибоначчи,почему бы не использовать их в техническом анализе движения цен на биржах. Впервые это предложил Ральф Нельсон Эллиотт.
Ральф Hельсон Эллиотт был инженеpом. После сеpьезной болезни в начале 1930-х г.г. он занялся анализом биpжевых цен, особенно индекса Доу-Джонса. После pяда весьма успешных пpедсказаний Эллиотт опубликовал в 1939 году сеpию статей в жуpнале Financial World Magazine.

В них впеpвые была пpедставлена его точка зpения, что движения индекса Доу-Джонса подчиняются опpеделенным pитмам. Согласно Эллиотту, все эти движения следуют тому же закону, что и пpиливы - за пpиливом следует отлив, за действием (акцией) следует пpотиводействие (pеакция). Эта схема не зависит от вpемени, поскольку стpуктуpа pынка, взятого как единое целое, остается неизменной.
Эллиотт писал: "Закон пpиpоды включает в pассмотpение важнейший элемент- pитмичность. Закон пpиpоды - это не некая система, не метод игpы на pынке, а явление, хаpактеpное, видимо, для хода любой человеческой деятельности. Его пpименение в пpогнозиpовании pеволюционно."
Этот шанс пpедсказать движения цен побуждает легионы аналитиков тpудиться денно и нощно. Мы сосpедоточимся на способности делать предсказания и попытаемся выяснить, возможно это или нет. Вводя свой подход, Эллиотт был очень конкретен. Он писал: "Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, - и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи". Если вы разберетесь с числами Фибоначчи и волнами Эллиота, то можете разбогатеть, играя на бирже ценных бумаг.

Глава 11

ПРОПОРЦИЯ ЧЕЛОВЕКА

Я уже упоминал о том, что к пропорциям человека и их нахождению обращались лучшие умы и художники задолго до нашей эры.

В Шумеро - Акадской культуре художники и скульпторы очень внимательно относились к композиции и пропорциям. В основном это были рельефы. Они заложили информативный характер изображений, когда тело и голова показывались в развернутом виде в фас, а руки и ноги в профиль. Героический пафос, сильные страсти, звериные темы – вот главное в этих изображениях.

Продолжили эту традицию и в Египте. На Росписях, скульптурах и рельефах изображения людей, животных и растений носят скорее эстетический и пропорциональный оттенок, при этом оставаясь информативными. Гармоничное сочетание лаконичного и пропорционального в форме и соразмерного и сбалансированного в цвете, пожалуй, самое важное достижение Египетских мастеров.

В древне- индуисткой культуре, в основном, это скульптура и барельефы храмов, изображения носят эротический характер, в силу особенностей религии. Однако пропорции тела и все соразмерности строго соблюдены, и это представляет собой эстетическое восприятие.

Мастера Греции еще более усилили и развили до совершенства пропорции. Красоту человеческого тела они возвели в норму и правило, на основе которого, и архитектура должна строиться по этим нормам.

Рис.56 Рис.57

Роспись VIII век до н.э. Гомеровский период Барельеф первая половина VI века

В Древней Греции первоначальный смысл понятия «гармония» был аналогичен понятию «музыка».

«Отец истории» Геродот говорил о непоколебимой любви к свободе, которая отличает греков от всех других народов земли, делая из них не подданных азиатских и египетских владык, но свободных граждан. В ходе греко-персидских войн сложился морской союз греческих городов, в который входило около двухсот государств. Первенство в нем принадлежало Афинам. Расцвет Афин в середине V века до н. э. неразрывно связан с деятельностью Перикла, который почти бессменно в течение пятнадцати лет руководил городом в должности первого стратега (444—429 гг. до н. э.). В это время Афины стали крупнейшим экономическим, политическим и культурным центром Древней Эллады, они привлекали к себе знаменитых поэтов, историков и философов. В духовной жизни Афин утверждение демократического строя совпадает с расцветом греческого театра и творчеством Эсхила, Софокла и Еврипида, произведения которых вошли в сокровищницу мировой литературы. Театр стал подлинным воспитателем народа, он формировал взгляды и убеждения свободных граждан Эллады. На весенних празднествах в честь Диониса жители Афин собирались в театр, расположенный на склоне Акрополя. Беднейшим гражданам выдавали специальные жетоны на посещение театральных представлений. Часто герой трагедии погибал, но он внушал зрителям чувство гордости и веру в способность человека противостоять грозным и неумолимым силам судьбы. Он стремился сокрушить препятствия, мешающие свободному развитию его личности, и эта борьба вызывала у зрителей восхищение. Трагический герой был образцом для греков, утверждая в них чувство человеческого достоинства, высокой этической ценности гражданина. Если трагедия наглядно показывала путь к гармоническому развитию личности, то изобразительное искусство воплотило в прекрасных художественных образах результат этого развития — типически обобщенный образ человека-героя во всем совершенстве его физической и нравственной красоты. Этот идеал имел большое этическое общественно-воспитательное значение. Искусство оказывало непосредственное воздействие на чувства и умы современников, воспитывая в них представление о том, каким должен быть человек. Созданные в V-IV веках до н. э. прославленные творения зодчих, скульпторов и художников в последующие века стали образцом для подражания: их считали классическими, то есть образцовыми. Искусство V-IV веков до н. э. получило название греческой классики.

Итак, рассмотрим пропорции человека по Поликлету.

Скульптор Поликлет работал в Аргосе в V в.до н.э. и ставил в своем творчестве иные цели. Создавая статуи спокойно стоящих атлетов, скульптор стремился найти идеально правильные пропорции, на основе которых может быть построено человеческое тело в скульптуре. В своих поисках Поликлет шел от внимательного изучения жизни. Созерцая фигуры обнаженных атлетов, скульптор обобщал свои впечатления и в конечном счете создал художественный образ, который стал своеобразной нормой и примером для подражания в глазах граждан города-государства.

«Успех художественного произведения, — утверждал Поликлет, — получается от многих числовых отношений, причем любая мелочь может его нарушить».

Гражданственный пафос Поликлета перекликается с характеристикой идеальностью гражданина, которую мы находим у греческого писателя Лукиана: «Более всего мы стараемся, чтобы граждане были прекрасны душою и сильны телом: ибо именно такие люди хорошо живут вместе в мирное время и во время войны спасают государство и охраняют его свободу и счастье». Передовые греческие мыслители V века до н. э. называли подобных людей «прекрасными и доблестными » представителями греческой республики.

Канон - система идеальных пропорций человеческого тела - была разработана древнегреческим скульптором Поликлетом в V веке до нашей эры. Ваятель попытался научно, точно определить пропорции человеческого тела, согласно с его представлениями об идеале. В соответствии с эстетическим каноном греческого скульптора Поликлета единицей измерения тела служила голова; длина тела должна быть равной восьми размерам головы.

Рис.58 Рис.59

Вот результаты его вычислений: голова - 1/7 всего роста, лицо и кисть руки - 1/10, ступня -1/6. Однако уже современникам фигуры Поликлета показались слишком массивными, "квадратными". Тем не менее, каноны стали нормой для античности и с некоторыми изменениями для художников ренессанса и классицизма.

Однако мы не будем останавливаться на этом, т.к. на эту тему написано очень много литературы.

В средневековье увлекались метафизическими и оккультными направлениями. После расцвета античности гуманистические настроения были откинуты назад и на первое место вышли религиозные церковные представления о роли человека в жизни. Главное в жизни человека – это мысли о Боге, о послушании, о скромности, о том, как не попасть в ад, а тело было греховно и низко. На первое место выходят астрологические карты, предсказания, и прогнозы.

Однако в архитектуре замечательно сохранились эти тенденции и, даже позже в XI-XIV столетиях переросли в настоящие шедевры архитектурного зодчества.

Рис.60 Рис.61

Астрологический календарь Византийский храм

Эпоха Возрождения дала новый толчок для исследования человеческого тела. Если раньше (исключая арабских медиков) изучали в основном внешние параметры человеческого тела, то в период расцвета эпохи Возрождения –IV-V в н.э. стали исследовать его и с анатомической точки зрения – сначала скелет, потом мышцы, и потом кожа.

Одними из реформаторов этого направления были Леонардо из Винчи (Италия) и Дюрер (Германия).

Леонардо по просьбе ученого и архитектора Марка Витрувия Поллиона изобразил «Витрувийского человека» с идеальными пропорциями. На рисунке изображена фигура обнаженного мужчины в двух наложенных одна на другую позициях: с разведенными в стороны руками и ногами, вписанная в окружность, и разведенными в сторону руками и сведенными ногами, вписанная в квадрат. Такое положение человек может занять только с идеальными пропорциями, и то ноги разведенного в стороны человека чуть длиннее, чем стоящего со сведенными ногами.

Рис.62

Пропорции следующие.

· Размах рук человека равен его высоте;

· Центр человека приходится на его лобок;

· Пупок находится на уровне 0,62 к высоте его роста (А это число золотой пропорции Фибоначчи)

· Максимум ширины плеч составляет 1/4его высоты;

И так далее вплоть до размеры мизинца.

Однако Гений Леонардо пошел дальше и проанализировал анатомию человека.

Он провел немало времени изучая скелет и мышцы человека и оставил после себя альбом с анатомическими рисунками и пояснениями.

Рис.63 Рис.64

Еще дальше пошел Дюрер. В своих исследованиях он пришел к выводу, что эти каноны являются относительными и для каждого человека они определяются по разному.

Дюрер отказался от пропорций Витрувия и им самим был написан трактат альтернативный труду Витрувия, полное название которого звучит так: "Здесь заключены четыре книги о пропорциях человеческого тела, найденных и описанных Альбрехтом Дюрером из Нюрнберга на пользу всем любящим таковую науку". В начале трактата Дюрер, критически осмысливший наследие Витрувия, заявляет: "…только совсем слабый разум не верит, что он может найти нечто новое, но держится всегда старого пути, следуя за другими и никогда не осмеливаясь самостоятельно думать".

Рис.65

Цейзинг в 1855году проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.

Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Рис. 67

Из этих рисунков видно, что идеальной пропорцией лица являются такие пропорции: высота лба равна высоте носа от бровей и расстоянию от кончика носа до низа подбородка. При этом отношение высоты от переносицы до темени и расстоянию от низа подбородка до бровей равно 0,618…, что и является золотой пропорцией. В кисти руки тоже можно наблюдать числовой ряд Фибоначчи: 38х0,618=23,5примерно, 23,5х0,618=14 и т.д.

Рис. 66 Пропорции человека по Цейзингу

Рис. 68 Рис.69

Как мы видим, в современности пропорции практически не изменились.

Однако надо помнить, что идеальные пропорции всегда определялись по мужской фигуре.

Пропорции женского тела несколько иные, к тому же они зависят от национальных и географических условий носителя. К примеру у женской фигуры, плечи обычно уже или равны ширине бедер, таз расположен немного ниже, и ягодичные мышцы несколько круглее. Грудь в целом тоже находится чуть ниже за счет свисающих женских желез, хотя солнечное сплетение находится на том же уровне. Центр же фигуры, по прежнему, находится в районе лобка, а пупок, в зависимости от склада женщины может находится чуть ниже и чуть выше пропорции золотого сечения 1,62 от центра фигуры.

Рис. 70 Рис.71

На этих рисунках с французского трактата по пропорциям человеческого тела, можно увидеть эти особенности, связанные с различием полов.

ГЛАВА 12
АНАТОМИЯ ЧЕЛОВЕКА

Прежде чем исследовать пропорции человека необходимо изучить его анатомическое строение. Эти познания дадут основные понятия о сочленении всех частей человеческого тела, о взаимодействиях и связях костей мышц и сухожилий.

Человеческий скелет-это сложная подвижная механическая структура, которая позволяет телу быть гибким, и в то же время прочным и надежным. Основными связующими прокладками в суставах, между костями служат хрящевые ткани, которые позволяют всем суставам двигаться с минимальным трением и быть максимально подвижными. За основную силу и мощь человеческого тела отвечают мышцы, как внутренние, так и наружные, а за связующие нити и сочленения различных частей мышечной и скелетной массы отвечают сухожилия, которые крепко стягивают все части между собой.

Человеческий скелет являет собой совершенство Божественной инженерной мысли и архитектоники.

Рис.72

В нем все продуманно и использовано.

Рассматривая сочленения костей и суставов, можно изучать самые различные аспекты вращения, трения, балансиров, гибкости и равновесия.

Здесь предусмотрено все, чтобы наше тело оставалось долговечным, гибким и пластичным, а при наложении мышц и сухожилий ещё и сильным и выносливым.